今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，每人日支錢二百五十文，已招二萬三千四百人，支錢二萬三千四百六十二貫。問招來幾日^①?
術曰：立天元一為三角落一底子，如積求之，得九萬二千七百三十六為益實，六百六十為從方，一百八十一為從上廉，二十二為從下廉，一為正隅，三乘方開之，得三角落一底子一十二個^②,加三即日數(shù)。
錢求日術曰：立天元一為三角撒星底子，如積求之，得五百六十一萬八百四十為益實，一萬八千三百六十二為從方，六千三百九十為從上廉，一千七十五為從二廉，九十為從三廉，三為正隅。四乘方開之，得三角撒星底子一十二個^③,加三即日數(shù)。(原注：或問，還原依立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，得數(shù)為兵。今招一十五方，每人日支錢二百五十文，問招兵及支錢各幾何^④?答曰：兵二萬三千四百人，錢二萬三千四百六十二貫。術曰：求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六。求兵者，今招為上積，又今招減一為茭草底子積為二積，又今招減二為三角底子積為三積，又今招減三為三角落一積為下積，以各差乘各積，四位并之，即招兵數(shù)也^⑤。求支錢者，以今招為茭草積為上積，又今招減一為三角底子積為二積，又今招減二為三角落一積為三積，又今招減三為三角撒星積為下積，以各差乘各積，四位并之，所得又以每日支錢乘之，即得支錢之數(shù)也^⑥。)合問。
草曰：立天元一為三角落一底子，加三得為第一次實，以天元加二乘之，得為第二次實，又以天元加一乘之，得為第三次實，又以天元乘之，得為第四次實。副以初招方面三再之，得二十七為上差；次方面四再之，得六十四，減上差，馀三十七為二差；倍二差加上差，得一百一，以減再次立方積一百二十五，馀二十四為三差；三因二差、三為下差。于是以上差乘第一次實，得，四之，得于上；以二差乘第二次實，得，倍之，得于中；以三差乘第三次實，得，三而二，得于中次；又以下差乘第四次實，得，六而一，得于下，并；上位，得為四倍招兵數(shù)^④,寄左。乃以四通已招兵，得九萬三千六百人為同數(shù)，消左，得，開三乘方，得十二個，加三，得十五日。
錢求日草曰：立天元一為三角撤星底子，加四得，以天元加三乘之，得為第一次實，又以天元加二乘之，得為第二次實，又以天元加一乘之，得為第三次實，又以天元乘之，得為第四次實。于是以上差乘第一次實，得，三十之，得于上；以二差乘第二次實，得，十之，得于中；以三差乘第三次實，得，四而一，復各超一位，得于中次；又以下差乘第四次實，得，半之，得于下。并四位，得，為六十倍招兵數(shù)^⑧。合以日支二百五十文乘之，為六十倍共錢數(shù)。今省一乘，即以六十倍招兵數(shù)為一百分之二十四共錢數(shù)寄左。乃以分子二十四通共支錢，得五百六十三萬八百八十為同數(shù)，消左，得，開四乘方，得十二個，加三，得十五日。(原注：依注還原草曰：依立方招兵，置二十七為上差，三十七為二差，二十四為三差，六為下差。求兵者，今招為上積，以上差乘之，得四百五于上，又今招減一，馀十四為茭草底子，以十五乘之，得二百十，如二而一，得一百五為二積，以二差乘之，得三千八百八十五于中；又今招減二，馀十三，為三角底子，以十四乘之，得一百八十二，又以十五乘之，得二千七百三十，如六而一，得四百五十五為三積，以三差乘之，得一萬九百二十于副；又今招減三，馀十二，為三角落一底子，以十三乘之，得一百五十六，又以十四乘之，得二千一百八十四，又以十五乘之，得三萬二千七百六十，如二十四而一，得一千三百六十五為下積，以下差乘之，得八千一百九十于下，并四位，得二萬三千四百人。支錢者，今招為茭草底子，以十六乘之，得二百四十，如二而一，得一百二十為上積，以上差乘之，得三千二百四十，于上；又今招減一，馀十四為三角底子，以十五乘之，得二百十，又以十六乘之，得三千三百六十，如六而一，得五百六十為二積，以二差乘之，得二萬七百二十于中；又今招減二，馀十三，為三角落一底子，以十四乘之，得一百八十二，又以十五乘之，得二千七百三十；又以十六乘之，得四萬三千六百八十，如二十四而一，得一千八百二十為三積，以三差乘之，得四萬三千六百八十于副；又今招減三，馀十二，為三角撒星底子，以十三乘之，得一百五十六，又以十四乘之，得二千一百八十四，又以十五乘之，得三萬二千七百六十，又以十六乘之，得五十二萬四千一百六十，如一百二十而一，得四千三百六十八為下積，以下差乘之，得二萬六千二百八于下，并四位，得九萬三千八百四十八。又以每日支錢乘之，得二萬三千四百六十二貫。)合問。

元·朱世杰《四元玉鑒·如象招數(shù)》

[注]①此為已知a,b,d,A,B,由a³+(a+d)³+(a+2d)³+…+[a+(n-1)d]³＝A或{a³n+(a+d)³ (n-1)+(a+2d)³(n-2)+…+[a+(n-1)d]³ · 1}b=B求n的問題，朱世杰用招差法解決，此問中a= 3,d=1,A=2340,b=250,B=23462000。②此為四次開方式x4+22x³+181x²+660x-92736=0。③此為五次開方式3x⁵+90x⁴+1075x³+6390x²+18362x-5610840=0。④此為朱世杰以原題的逆問題闡述招差法公式。⑤首先求出各次差：

其次，利用高階等差級數(shù)求和公式，求出上積n,二積(n-1)n,三積(n-2)(n-1)n,下積(n-3)(n-2)(n-1)n。總兵數(shù)為
f(n)=n⊿₁+(n-1)n⊿₂+(n-2)(n-1)n⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n⊿₄。
這一公式與現(xiàn)今公式完全一致。⑥上積為n(n+1),二積為(n-1)n(n+1),三積為(n-2)(n-1)n(n+1),四積為(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)。支錢人日數(shù)為f(n′)=n(n+1)⊿₁+(n-1)n(n+1)⊿₂+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₄。
總錢數(shù)為
[n(n+1)⊿₁+(n-1)n(n+1)⊿₂+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₄]b。

⑦在注⑤的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵數(shù)。⑧在注⑥的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵人日數(shù)。
【評】關于招差法的研究，是朱世杰著作中最精彩的部分之一。招差法實際上是高次插值法。插值法的研究在中國數(shù)學史上，尤其在歷法制定的數(shù)學方法中，源遠流長?！毒耪滤阈g》的盈不足術，可以看作一次插值法。六世紀天算學家劉焯制定《皇極歷》(600年)提出了等間距插值公式

f(nl+s)=f(nl)+(⊿₁-⊿₂)

,
其中⊿₁＝f(nl+l)-f(nl),⊿₂＝f(nl+2l)-f(nl+l)。是為等間距二次插值公式。八世紀僧一行制定《大衍歷》提出了不等間距二次內插公式：

。

十三世紀郭守敬、王恂制定《授時歷》(1280),用高階等差級數(shù)知識解決高次招差問題，成就輝煌。朱世杰則把這一研究推向更加完備的水平，在一定意義上說，朱世杰最終完成了
中國古代數(shù)學家在招差法方面的工作。